Eigenvalue ve Eigenvector
Created Wednesday 27 April 2022
Ben bunu anca 2D transformları gördükten sonra anladım, o kısımdan gideceğim.
Elimizde bir 2D vector field olsun. Bu iki boyutlu düzlemde sen bir nokta seç, o sana bir vektör versin cevap olarak. (nokta seç derken aslında orijinden bir vektör yani)
Burada eigenvector doğrultusunda bir vektör seçtiğimde çıkan vektör de yine aynı doğrultuda olmalı. Yani bir doğrultudaki bütün vektörler yine hep aynı doğrultuda vektörlere yol açıyorsa o doğrultuyu göstermek için eigenvector'lar kullanılıyor. (o eksenler eigenvector'lar yani)
O eigenvector'ün eigenvalue'su da o doğrultuda bir vektör girdiğinde çıkan onun kaç katı onu söylüyor. Yani eğer eigenvalue'su 2 olan bir eigenvector dogrultusunda bir vektörü bu operasyondan geçirirsem ayni vektörün iki katını çıktı olarak alacağım.
Linear 2D sistemlerde genellikle iki eigenvalue oluyor. Kimi nadir vakalarda sonsuz eigenvalue da olabiliyor, veya 0.
Hayal etmenin bir yolu şu bunlarda:
3D bir space düşünup bunun tek quadrantını alalım. Diğer üç quadranta bu quadrantı aynayla yansıtıyoruz. iki aynanın da dibinde bir çubuk var ve iki çubuğun arasında da bir çarşaf/kağıt parçası/kumaş var.
İki çubuğu hareket ettirerek orijinin tepe noktası olduğu bir dağ yapabiliriz. Veya orijinin en çukur nokta olduğu bir kase.
Çubuklar burada garanti eigenvector. Nasıl bir eğimde durduklarına göre eigenvalue'ları değişiyor. Örnegin tam yataysa 0, orijin tepeymiş gibiyse pozitif bir değer, çukur gibiyse negatif bir değer etc.
Çubuklar dışındaki yerler de eigenvector olabilir, ama bunun için çubukları hareket ettirip yüzeyin tam denk gelmesi lazım. Örneğin iki çubuğun da eğimi aynıysa, tam yuvarlak bir kase oluşturuyorsa, her yönden dümdüz aşağı inileceği için her yön eigenvector.